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CÁLCULO DE LOS PERÍODOS DE RETORNO

     

  • Introducción

         
  • Homogeneidad de las series:

         
  • Fundamento del cálculo de Períodos de retorno:

         
  • Bondad del ajuste

         
  • Presentación de los resultados



    Introducción:

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    El objetivo de este capítulo es describir la distribución espacial, en Asturias, de la precipitación máxima en 24 horas esperada para los distintos períodos de retorno prefijados.

    Para ello hemos ajustado la función de distribución de Gumbel a las series de valores máximos anuales de precipitación en 24 horas, correspondientes a cada una de las 81 estaciones pluviométricas seleccionadas de la red del Instituto Nacional de Meteorología, en Asturias.

    Aparte del interés evidente que tiene saber hasta cuánto puede llover en un día en un lugar determinado, estos valores constituyen también uno de los índices más significativos del régimen pluviométrico.

    Hay que advertir que cuando hablamos de precipitación en 24 horas nos estamos refiriendo a la cantidad de precipitación recogida de 07 a 07 U.T.C. del día siguiente, que comúnmente se conoce como "día pluviométrico". Esto quiere decir que los valores considerados serán generalmente inferiores a los máximos registrados en un intervalo continuo de 24 horas cuya hora de comienzo no sean las 07 horas. Este inconveniente se puede solucionar multiplicando los valores máximos obtenidos por 1,13.(ELÍAS CASTILLO y RUIZ BELTRÁN, 1979).

    En este estudio hemos elegido series con una longitud mínima de al menos 20 años. Cuanto mayor sea el número de datos de la muestra, más representativa será dicha muestra de la población y más ajustada será su distribución de frecuencias a la realidad. Es por ello que hemos utilizado todos los valores disponibles de cada serie aunque éstos no fuesen consecutivos. Esto es perfectamente plausible ya que los datos de una serie homogénea son independientes entre sí.

    Sin embargo, cuando hemos sospechado que el dato desconocido pudiera coincidir con un día de precipitación muy elevada hemos desechado la serie, ya que la ausencia de ese dato podría suponer un error de muestreo.

    Aunque para una estación dada, las precipitaciones máximas en distintos años son independientes entre sí, para varias estaciones próximas las máximas en un mismo año no suelen ser independientes. Es por ello que hemos procurado que las series de las estaciones próximas sean síncronas.

    Las series seleccionadas, aparte de cumplir el requisito indispensable de homogeneidad y tener una longitud mínima, han pasado un minucioso control de calidad, siendo este aspecto de importancia capital.

    Hay que advertir que la longitud de las series utilizadas oscila entre los 20 y los 44 años, claramente insuficiente para obtener distribuciones de frecuencias estables. Esto se evidencia sin más que examinar las series correspondientes a las estaciones de Presa de la Barca y Valle de Tablado. En Presa de la Barca, con una longitud de 30 años, el valor más alto de precipitación es 203.7 l/m², mientras que el segundo valor más alto es 77.5 l/m².

    Por otra parte, el dato de precipitación máxima en 24 horas registrado por un pluviómetro, fiel reflejo de la precipitación local, no es extrapolable más allá de unos pocos kilómetros cuadrados, dependiendo del tipo de precipitación, de las condiciones en que las mismas se producen y del entorno geográfico.

    Por todo ello, los valores que muestran los mapas deben considerarse como estimaciones de la precipitación máxima en 24 horas.

    Homogeneidad de las series:



    Se dice que una serie de datos es homogénea cuando es una muestra aleatoria extraída de una única población.

    Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es asegurarnos, en la medida de lo posible, de la homogeneidad de las series.

    Un procedimiento ampliamente utilizado en Climatología para decidir si una serie es homogénea o no es el llamado test de las rachas o de las secuencias.

    Se llama racha a una sucesión de valores por encima o debajo de la mediana. El número total de rachas en una muestra de observaciones independientes sigue una distribución aproximadamente normal. Rechazaremos la hipótesis de independencia u homogeneidad cuando el número de rachas sea significativamente pequeño o grande.

    En el presente trabajo, dada la extrema variabilidad de las precipitaciones máximas en 24 horas, se consideran homogéneas aquellas series que pasan el test de las rachas para un nivel de significación bilateral de hasta 0,05.

    Fundamento del cálculo de Períodos de retorno:

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    El grado de magnitud de un fenómeno extremo está relacionado de forma inversa con su frecuencia de ocurrencia. Así, en nuestras latitudes las precipitaciones muy intensas ocurren con una frecuencia menor que las moderadas o débiles.

    Si disponemos de una serie de valores extremos anuales correspondientes a una variable aleatoria, es fácil la valoración de una determinada magnitud de la variable relacionando dicho valor extremo con sus frecuencias de ocurrencia, bien obtenidas empíricamente o mediante el uso de distribuciones teóricas de probabilidad.

    En este caso se denomina período de retorno o de recurrencia de un determinado valor extremo al intervalo medio T, expresado en años, entre dos sucesos que igualan o superan el valor extremo considerado.

    Este concepto se entiende fácilmente con la ayuda de la Fig. 1. En ella se observa que el valor extremo de 80 mm. sólo es igualado o superado en 11 ocasiones y que los intervalos de recurrencia entre dos valores extremos consecutivos varían entre 17 y 3 años. Si calculamos la media aritmética de estos intervalos de recurrencia obtendríamos un período de retorno de 6.1 años para dicho valor extremo.

    La probabilidad de ocurrencia de un fenómeno extremo está relacionada con su período de retorno por:      .Si      , se verificará que , y el período de retorno vendrá dado por:     

    Figura 1.

    Si disponemos de una serie de valores extremos anuales lo suficientemente larga podemos estimar la probabilidad de ocurrencia de un determinado valor extremo mediante la frecuencia empírica acumulada dada por la fórmula:     donde xi es el elemento i-ésimo de la serie de N datos ordenada de menor a mayor.
    Se utiliza la fórmula anterior, y no la fórmula usual     de casos favorables entre el número total de casos, con el objeto de no obtener probabilidad igual a 1, suceso seguro, al calcular la probabilidad de ocurrencia de un valor inferior al valor más alto de la serie. De esta manera podemos calcular la probabilidad del suceso complementario y su período de retorno.

    Dado que la longitud de las series utilizadas suele ser relativamente corta - en este estudio la serie más larga consta solamente de 44 valores – el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de un determinado valor extremo mediante la frecuencia empírica acumulada puede dar lugar a resultados erróneos. Además, empíricamente no se pueden calcular los valores extremos correspondientes a períodos de retorno superiores a la longitud de la serie disponible.

    Por lo tanto es necesario asumir la hipótesis de que ésta es una muestra de una población que se distribuye según una ley teórica de distribución de valores extremos, lo que suele proporcionar resultados aceptables, aunque, a veces, debido a la pequeña longitud de la serie en que se basa el ajuste de la distribución teórica, se puede cometer un error de muestreo.

    De entre las posibles funciones de distribución a emplear, la de Gumbel ha sido sometida a prueba en numerosas ocasiones con resultados satisfactorios, lo que justifica su uso (ELÍAS CASTILLO y RUIZ BELTRÁN, 1979; MARTÍNEZ MOLINA, 1986; MARTÍNEZ MARÍN, 1990; MERCHÁN RUBIO y MESTRE BARCELÓ, 1998).

    Bondad del ajuste



    Hemos supuesto que la población se distribuye según la función de distribución de Gumbel. El coeficiente de correlación entre los valores ordenados de la serie y la variable reducida, dada por:     donde     nos da ya una idea de la bondad del ajuste. Sin embargo probaremos la bondad del mismo mediante el test de contraste de Kolmogorov-Smirnov.

    Este test compara la función de distribución teórica con la empírica y calcula la discrepancia máxima. Si ésta es mayor que un determinado valor, tabulado, para un nivel de significación fijado, rechazaremos el modelo teórico.

    Para todas las estaciones las discrepancias encontradas son pequeñas, de tal forma que el nivel crítico del contraste es mayor que 0,10 en todas ellas, por lo que aceptamos la hipótesis de que la población se distribuye según la función de distribución de Gumbel.

    Presentación de los resultados



    Para cada una de las 81 estaciones pluviométricas objeto del estudio se presentan los siguientes resultados:

          *La serie ordenada cronológicamente

          *Tres estadísticos descriptivos ( media, mediana y desviación típica )

          *Resultados de aplicar a la serie la prueba de las rachas

          *La serie ordenada de menor a mayor (x)

          *Valores de probabilidad o frecuencia acumulada empírica (Fi)

          *Valores correspondientes a la variable reducida (y)

          *Valores de probabilidad o frecuencia teórica obtenidos mediante la función de distribución de Gumbel (Fx)

          *Bondad del ajuste de la función de distribución de Gumbel: Coeficiente de correlación entre x e y.

          *Bondad del ajuste de la función de distribución de Gumbel: Test de Kolmogorov - Smirnov

          *Valores extremos para los períodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50, 75, 100, 250 y 500 años así como los intervalos de confianza para los niveles de confianza del 95%, 90% y 80%.

    Además, se han trazado los mapas de isoyetas de precipitación máxima en 24 horas para los períodos de retorno de 5, 10, 25, 50, 100 y 250 años.

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